LOGARITMO

En matemáticas, el LOGARITMO de un número —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 10³ = 10×10×10.

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 3⁵=243 luego log₃243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante por identidades logarítmicas que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = log_b x, lo que permite obtener n.

Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; log_b b = 1 ya que b¹ = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); log_b 1=0 ya que b⁰ = 1.

Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 <  a < 1 entonces log_b a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También se puede demostrar usando la identidad logarítmica log_b(x/y)=log_b x - log_b y; puesto que a pertenece al intervalo 0 <  a < 1, su inverso a^-1 será mayor que uno, con lo que log_b(a)=log_b(1/a^-1) = log_b 1 - log_b(a^-1)= -log_b(a^-1).

Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bⁿ será mayor que cero, bⁿ > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bⁿ = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.

El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por John Napier latinizado Neperus en 1614, en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por primera vez los logaritmos; sin embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que Napier. La inicial resistencia a la utilización de logaritmos fue cambiada por Kepler, por el entusiasta apoyo de su publicación y la impecable y clara explicación de cómo funcionaban.

Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la resolución de cálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente en geodesia, navegación marítima y otras ramas de la matemática aplicada, antes de la llegada de las calculadoras y computadoras. Además de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.

Napier no usó una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como factor de escala, funcionaban de manera eficaz con base 1/e. Para los propósitos de interpolación y facilidad de cálculo, eran útiles para hallar la relación r en una serie geométrica tendente a 1. Napier escogió r = 1 - 10⁻⁷ = 0,999999 (Bürgi eligió r = 1 + 10⁻⁴ = 1,0001). Los logaritmos originales de Napier no tenían log 1 = 0, sino log 10⁷ = 0. Así, si N es un número y L es el logaritmo, Napier calcula: N = 10⁷(1 − 10⁻⁷). Donde (1 − 10⁻⁷) es aproximadamente 1/e, haciendo L/10⁷ equivalente a log_1/e N/10⁷. Véase logaritmo neperiano.

Inicialmente, Napier llamó «Números artificiales» a los logaritmos y «Números naturales» a los antilogaritmos. Más tarde, Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un número que indica una proporción: λόγος logos el sentido de proporción, y ἀριθμός arithmos significado número, y se define, literalmente, como «un número que indica una relación o proporción». Se refiere a la proposición que fue hecha por Napier en su «Teorema fundamental», que establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los cuales corresponden, de manera que una progresión aritmética de logaritmos corresponde a una progresión geométrica de números. El término antilogaritmo fue introducido a finales de siglo xvii y, aunque nunca se utilizó ampliamente en matemáticas, perduró en muchas tablas, hasta que cayó en desuso.

ROSALIND FRANKLIN

ROSALIND FRANKLIN nació en Notting Hill, Londres el 25 de julio de 1920. Murió en Chelsea, Londres el 16 de abril de 1958 fue una química y cristalógrafa inglesa autora de importantes contribuciones a la comprensión de la estructura del ADN, los virus, el carbón y el grafito.

Rosalind Franklin es recordada principalmente por la llamada Fotografía 51, la imagen del ADN obtenida mediante difracción de rayos X, que sirvió como fundamento para la hipótesis de la estructura doble helicoidal del ADN en la publicación del artículo de James Watson y Francis Crick de 1953, y tras su publicación constituyó una prueba crítica para la hipótesis. Más tarde, lideró varios trabajos pioneros relacionados con el virus del mosaico de tabaco y el polio virus.

Rosalind Franklin se graduó en la Universidad de Cambridge en 1941, no sin antes sortear la oposición paterna. Hizo estudios fundamentales de microestructuras del carbón y del grafito y este trabajo fue la base de su doctorado en química física, que obtuvo en la Universidad de Cambridge en 1945. Después de Cambridge, pasó tres productivos años (1947-1950) en París, en el Laboratoire de Services Chimiques de L'Etat, donde estudió la aplicación de técnicas de difracción de rayos X a sustancias amorfas.

En 1951, regresó a Inglaterra para trabajar como investigadora asociada en el laboratorio de John Randall en el King's College de Londres. Rosalind Franklin, una mujer de personalidad fuerte, mantuvo aquí una relación compleja con Maurice Wilkins, quien mostró sin su permiso sus imágenes de difracción de rayos X del ADN a James Watson y Francis Crick. Ninguna otra inspiración fue tan fuerte como ésta para la publicación por ellos, en 1953, de la estructura del ADN, tal como ellos mismos reconocieron. En febrero de 1953, a la edad de 33 años, Rosalind escribió en sus notas de trabajo "la estructura del ADN tiene dos cadenas". Para ese entonces, ella también sabía que la molécula del ADN tiene sus grupos fosfato hacia afuera y que existe en dos formas

Franklin falleció en 1958 en Londres a causa de bronconeumonía, carcinomatosas secundaria y cáncer de ovario. Es posible que esta enfermedad fuese causada por las repetidas exposiciones a la radiación durante sus investigaciones.

Las condiciones que como mujer tuvo que soportar en Cambridge y ciertas palabras despectivas de James Watson, hacen aparecer como un agravio la concesión del Premio Nobel de Fisiología o Medicina sólo a Watson, Crick y Wilkins en 1962, cuando en realidad ya se había producido su fallecimiento. Sus compañeros, incluso Watson, famoso por la mordacidad con que se refiere a sus colegas, expresaron repetidas veces su respeto personal e intelectual por ella

ARTE ETRUSCO

El ARTE ESTRUSCO fue la forma de arte figurativo producido por la civilización etrusca que se desarrolló en el norte de Italia entre el siglo IX y el siglo II a. C. El arte que se conserva es de carácter funerario, relacionado tanto con la pintura frescos como con la escultura. Destaca en particular esta última, con sarcófagos de terracota a tamaño natural. También fueron hábiles artesanos, como los que pintaban sobre jarras de cerámica a imitación de los modelos griegos, y excelentes joyeros y metalúrgicos, destacando sus espejos de bronce grabados.

Los restos de la civilización etrusca se encuentran repartidos por las regiones italianas de la Toscana, el Lacio donde se encuentran las necrópolis de Cerveteri y Tarquinia y Umbría. Pueden verse sus obras en algunos de los grandes museos italianos, principalmente en la Villa Giulia ocupada desde 1889 por el Museo Nacional Etrusco y el Museo Gregoriano del Vaticano, ambos en Roma; el Museo Archeologico de Florencia, el «Museo Archeologico Nazionale Etrusco della Città di Chiusi» y el «Museo Etrusco Guarnacci» en Volterra. Otros museos menores dedicados a los etruscos son el «Archeologico Etrusco» de Artimino, el «Cívico Archeologico» de Pitigliano y el Etrusco-Romano de Todi.

Los etruscos se instalaron inicialmente en el territorio llamado Etruria, triángulo comprendido entre el Arno al norte, el Tíber al sur y el Mar Tirreno al Oeste.

Los misteriosos orígenes de este pueblo, y en consecuencia de su estilo artístico, se retrotrae a los pueblos que habitaban o fueron expulsados de Asia Menor durante la Edad del Bronce y la del Hierro, aunque otras culturas antiguas influyeron en el arte etrusco debido a la proximidad o al contacto comercial, tales como los griegos, los fenicios, los egipcios, asirios y Oriente Próximo. Sin embargo, su aparente copia de los modelos helenos oculta un estilo innovador, característico y único cuyo apogeo coincide con el periodo arcaico griego que tendría una honda influencia en el arte romano y que más tarde lo absorbería por completo en el siglo I a. C.

Se pueden distinguir diferentes periodos:

Siglo X-VIII a. C.: período Vilanovio. Comienzo de la civilización etrusca, conocida por la práctica de la incineración y no de lainhumación.

800-650 a. C.: período «oriental» u «orientalizante». Debido a los intercambios culturales entre las civilizaciones mediterráneas en esta época, especialmente con la Grecia Antigua, apareció en el arte etrusco una tradición figurativa que se basaba en modelos griegos.

650-500 a. C.: Período arcaico. Influencias jónicas y corintias. Debido a mayores intercambios y a la estructuración de la sociedad etrusca, emergieron nuevas técnicas artísticas. En particular, la pintura conoció un desarrollo espectacular: de la decoración de las techumbres se pasa a pintar jarros y frescos; se difunde la escultura en terracota pintada.

500-300 a. C. - Período clásico. La cumbre; aún marcada por influencia griega; se producía cada vez menos arte debido a la crisis política y militar, tanto interna como externa, con la excepción de los bronces de Vulci.

300-100 a. C. - Fase tardía, el helenismo y la romanización. Los etruscos son absorbidos por la cultura romana.

El arte etrusco es a menudo de carácter religioso y de ahí que se relacione con las exigencias de la religión etrusca. La vida de ultratumba etrusca era negativa, a diferencia del punto de vista positivo del antiguo Egipto donde era una continuación de la vida terrenal, o las relaciones de confianza con los dioses propias de la antigua Grecia. Los dioses etruscos eran indiferentes y tendían a traer buena suerte, de manera que la religión etrusca estaba centrada en su veneración y la adoración de los difuntos. La mayor parte de los restos de arte etrusco se encuentran en excavaciones de cementerios como en Cerveteri, Tarquinia, Populonia, Orvieto, Vetulonia, Norchia, lo que significa que vemos el arte etrusco dominado por representaciones de la religión y en particular el culto funerario, sea o no ello reflejo verdadero del arte etrusco como un todo.

Las primeras poblaciones etruscas se construyeron con cabañas de planta cuadrada, rectangular o redonda con un techo muy inclinado generalmente de paja o arcilla. Se diferenciaban de otros asentamientos itálicos en que no estaban dispuestos al azar, sino que seguían una lógica económica o estratégica bien precisa. Muchas ciudades etruscas se situaban en lo alto de una meseta, lo que permitía buenas vistas del terreno circundante, fuera terrestre o marítimo; así puede verse aún en Volterra. Otros núcleos, como Veyes o Tarquinia surgieron en un territorio particularmente fértil y apropiado para la agricultura.

Se fundaba trazando con un arado los dos ejes principales y perpendiculares entre ellos, llamados cardo norte-sur y decumano este-oeste, dividiendo luego los cuatro sectores así obtenidos en insulae del latín, isla, a través de una red de calles paralelas al cardo y al decumano. Esta precisa disposición urbanística es visible aún hoy en algunas ciudades de la antigua Etruria. No es, de todos modos, novedad etrusca, en cuanto que la idea de fundar la ciudad partiendo de dos calles perpendiculares era de uso común en Grecia y fue retomada en épocas posteriores por los romanos para fundar campamentos y ciudades como por ejemplo Augusta Praetoria y Augusta Taurinorum, las actuales Aosta y Turín.

A la ciudad la rodeaba una muralla, muy a menudo de carácter ciclópeo, que representa el único testimonio, junto con las tumbas y los basamentos de los templos, de la arquitectura etrusca en piedra. En efecto, los materiales que se usaban para construir eran la arcilla, la toba y la caliza, siendo el mármol casi desconocido. Se entraba a la ciudad por puertas que se abrían entre dos torreones mediante arco de medio punto. Este tipo de fortificación influyó en los modelos romanos. El número de puertas eran siete o cuatro aunque hay testimonios de algunas ciudades con cinco y seis entradas, las más importantes se correspondían con los extremos del cardo y el decumano. Inicialmente eran de simple arquitrabe, pero a partir del siglo V a. C., las puertas adquirieron características imponentes en forma de arco, construido encastrando a piedra seca entre ellas enormes bloques de toba, a su vez insertos en los muros. Las puertas de la época tardo-etrusca, como por ejemplo la Porta all'Arco de Volterra, estaban además decoradas con frescos y bajo relieve en sus partes principales la clave del arco y el plano de imposta.

Además de varias construcciones ciclópeas a ellos atribuidas, se sabe que los etruscos importaron de Oriente el arco de medio punto y la bóveda perfecta. Estos elementos arquitectónicos llegaron a los romanos precisamente a través de los etruscos. Sus construcciones emplean además la columna sobre soporte, formando el orden toscano, que tiene relación con el dórico.

En el siglo VIII a. C. las casas pasaron a ser cuadrangulares, morfología que posteriormente heredó Roma. Se hacían de madera y de adobe y más tarde de morrillos de toba. Podían tener hasta dos pisos. Las estructuras de madera de las casas más ricas de la Antigüedad se protegían de la humedad por placas de terracota pintadas de colores vivos. Inicialmente, la aristocracia vivía en casas de tres partes, a veces precedidas de un pórtico que daba a un patio; más tarde en extensas residencias domus construidas en torno a un patio, según el estilo griego.

Dado que se construían con materiales perecederos, han llegado hasta la época moderna solo unos pocos testimonios de la arquitectura religiosa etrusca en general y de los templos en particular. Las informaciones que se tienen de ellos provienen de los textos de Vitrubio, que los clasificaba bajo un nuevo orden, el toscano. Solo a través de documentos de la época romana, pues, puede intentar reconstruirse el modo en que se hacían.

Los templos eran grandes edificios casi cuadrados. Se alzaban sobre un basamento o podio de piedra. Estaban destinados a no verse más que de frente, único lugar por el que se accedía, a través de una escalinata, en lugar de mediante un crepidoma perimetral.

La superficie del templo se dividía en dos zonas:

El pórtico in antis con columnas; es la parte antecedente o pronao, con ocho columnas dispuestas en dos filas de cuatro.

La parte posterior, con una cella, que en algunas ocasiones se hace triple, recordando la creencia en una tríada de dioses, dedicándose cada celle a una divinidad en particular.

El frontón y el techo se adornaban con decoraciones en las terracotas pintadas. Un ejemplo de decoración es la cabeza de Gorgona en el templo de Portonaccio en Veyes, actualmente conservado en Villa Giulia Roma. A veces se colocaba sobre la techumbre grandes estatuas de bulto redondo, también pintadas.

ÓRBITA

En física, una ÓRBITA es la trayectoria que describe un objeto físico alrededor de otro mientras está bajo la influencia de una fuerza central, como la fuerza gravitatoria.

Las órbitas se analizaron por primera vez de forma matemática por Johannes Kepler, quien fue el que formuló los resultados en sus tres leyes del movimiento planetario. La primera, encontró que las órbitas de los planetas en el Sistema Solar son elípticas y no circulares o epiciclos, como se pensaba antes, y que el Sol no se encontraba en el centro de sus órbitas sino en uno de sus focos. La segunda, que la velocidad orbital de cada planeta no es constante, como también se creía, si no que la velocidad del planeta depende de la distancia entre el planeta y el Sol. Y la tercera, Kepler encontró una relación universal entre las propiedades orbitales de todos los planetas orbitando alrededor del Sol. Para cada planeta, la distancia entre el planeta y el Sol al cubo, medida en unidades astronómicas es igual al periodo del planeta al cuadrado, medido en años terrestres.

Isaac Newton demostró que las leyes de Johannes Kepler se derivaban de su teoría de la gravedad y que, en general, las órbitas de los cuerpos que respondían a la fuerza gravitatoria eran secciones cónicas. Isaac Newton demostró que un par de cuerpos siguen órbitas de dimensiones que son inversamente proporcionales a sus masas sobre su centro de masas común. Cuando un cuerpo es mucho más masivo que el otro, se hace la convención de tomar el centro de masas como el centro del cuerpo con mayor masa.

Dentro de un sistema planetario, los planetas, asteroides, cometas y la basura espacial orbitan alrededor de la estrella central, el Sol, con órbitas elípticas. Un cometa en una órbita parabólica o hiperbólica alrededor de una estrella central no tiene un lazo gravitatorio con la estrella y por tanto no se considera parte del sistema planetario de la estrella. No se han observado en el Sistema Solar cometas con órbitas claramente hiperbólicas. Los cuerpos que tienen un lazo gravitacional con uno de los planetas del sistema planetario, ya sean naturales o artificiales realizan órbitas elípticas alrededor del planeta.

Debido a las perturbaciones gravitatorias mutuas, las excentricidades de las órbitas de los planetas varían a lo largo del tiempo. Mercurio, el planeta más pequeño del Sistema Solar, tiene la órbita más excéntrica. El siguiente es Marte, mientras que los planetas con menor excentricidad son Venus y Neptuno.

Cuando dos objetos orbitan sobre sí, el periastro es el punto en el que los dos objetos se encuentran más próximos el uno al otro y el apoastro es el punto donde se encuentran más lejos.

En una órbita elíptica, el centro de masas de un sistema entre orbitador y orbitado se sitúa en uno de los focos de ambas órbitas, sin nada en el otro foco. Cuando un planeta se acerca a su periastro, el planeta incrementa su velocidad. De igual manera, cuando se acerca a su apoastro, disminuye su velocidad.